Matrices y determinantes
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Matrices y Determinantes
Historia de las matrices y de los determinantes
Es difícil decir exactamente cuándo y dónde se inventaron las matrices y los determinantes, ya que se usan desde hace mucho tiempo. Sin embargo, seguramente el origen de las matrices se encuentra en China hacia el año 650 a.C., donde se utilizaban las matrices para estudiar los cuadrados mágicos.
Asimismo, hay constancia de que también se usaban las matrices para resolver sistemas de ecuaciones lineales en un importante texto matemático chino (Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas, Jiu Zhang Suan Shu) que proviene del año 300 a.C. al 200 a.C. En ese documento se explica un método matricial para hallar la solución de sistemas con 3 ecuaciones y 3 incógnitas.
Además, los cuadrados mágicos también eran conocidos por los matemáticos árabes probablemente desde el principio del siglo VII, quienes podrían haberlos adquirido a través de los matemáticos y astrónomos de India. Todo esto sugiere que el concepto proviene del territorio chino.
Por otro lado, aunque el término de determinante ya aparecía por primera vez en el escrito chino del siglo III a.C., el matemático japonés Seki Kōwa hizo una publicación en 1683 sobre el cálculo de determinantes. Más tarde, en 1693, el famoso matemático alemán Leibniz contribuyó al desarrollo de la teoría de los determinantes con un método para resolver sistemas de 3 ecuaciones y 2 incógnitas.
Más adelante, el matemático escocés Maclaurin aportó un método para resolver sistemas de ecuaciones lineales con 2, 3 y 4 incógnitas. Esta obra se publicó en 1748, pero se piensa que ya utilizaba este método por el año 1729. No obstante, fue en 1750 cuando el suizo Gabriel Cramer encontró la fórmula para solucionar un sistema de cualquier dimensión con el mismo número de incógnitas que de ecuaciones (n×n) mediante determinantes. Este método aún se usa actualmente bajo el nombre de la regla de Cramer.
En el año 1833 el matemático Pierre Frédéric Sarrus publicó un artículo en el que se explicaba una técnica mnemotécnica para calcular el determinante de una matriz 3×3: la regla de Sarrus.
Otros extraordinarios matemáticos que también han contribuido al progreso de la teoría sobre matrices y determinantes.
Exploremos estos interesantes contenidos.
¿Qué es una matriz?
En matemáticas, una matriz es una tabla de números que sirve para representar datos de manera ordenada.
La principal utilidad de las matrices es representar los datos de los problemas. Por ejemplo, una empresa que vende 3 productos (X, Y, Z) ha realizado un estudio de mercado para saber a qué precio venden estos productos sus principales competidores (M y N) y ha obtenido los siguientes datos:
Pues la información de este problema se puede expresar en forma de matriz:
De esta forma se puede analizar mejor el problema y es más fácil de resolverlo.
En este caso concreto, hemos obtenido una matriz rectangular de 3 filas y 2 columnas. Para abreviar se suele decir que es una matriz de dimensión 3×2.
¿Qué es el determinante de una matriz?
El determinante de una matriz es una operación que se aplica a las matrices, pero únicamente se pueden calcular los determinantes de matrices cuadradas. Por lo tanto, el resultado del determinante de una matriz siempre será un número, no una matriz. Por ejemplo, el determinante de la siguiente matriz es igual a cero (0):
![\displaystyle \begin{vmatrix} 3&6 \\[1.1ex] 1 & 2 \end{vmatrix}=0](https://www.matricesydeterminantes.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-d4b36af2e4ad344cbf2b4430fc0068b8_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Como puedes ver, los determinantes siempre se expresan con barras verticales, a diferencia de las matrices que normalmente se representan con paréntesis.
¿Cuál es la diferencia entre una matriz y un determinante?
La principal diferencia entre las matrices y los determinantes es que una matriz es una manera de expresar datos o números, en cambio, el determinante de una matriz siempre será el resultado de una operación, es decir, un único número.
Otra manera de diferenciar las matrices y los determinantes es mediante sus respectivas propiedades. Por ejemplo, multiplicar una matriz por un número es equivalente a multiplicar todos los elementos de la matriz por ese número. Por contra, el producto de un determinante por un escalar es igual a multiplicar tan solo una fila o una columna del determinante.
![\displaystyle 2\cdot \begin{pmatrix} 1&-1 \\[1.1ex] -2 & 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\cdot 1&2\cdot (-1) \\[1.1ex] 2\cdot (-2) & 2\cdot 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2&-2 \\[1.1ex] -4 & 8 \end{pmatrix}](https://www.matricesydeterminantes.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-bef4ab307618fd4c582eec8da0ffd139_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
![\displaystyle 2\cdot \begin{vmatrix} 1&-1 \\[1.1ex] -2 & 4 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 2\cdot 1&2\cdot (-1) \\[1.1ex]-2 & 4 \end{vmatrix}=\begin{pmatrix} 2&-2 \\[1.1ex] -2 & 4 \end{pmatrix}](https://www.matricesydeterminantes.com/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-69fbb8bec5005277ca3acde8befa3450_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
Otra propiedad en la que se diferencian las matrices y los determinantes es en la multiplicación entre sí. Porque en general las matrices no son conmutables, es decir, el resultado del producto entre dos matrices varia dependiendo del orden en el que se multiplican. Por el contrario, el producto entre dos determinantes sí que es conmutativo.
Otra propiedad en la que se diferencian las matrices y los determinantes es en la multiplicación entre sí. Porque en general las matrices no son conmutables, es decir, el resultado del producto entre dos matrices varia dependiendo del orden en el que se multiplican. Por el contrario, el producto entre dos determinantes sí que es conmutativo.
Siendo 
y 
dos matrices diferentes y 
y 
sus respectivos determinantes.
Excelente maestra, bendiciones
ResponderEliminarExcelente
ResponderEliminarHola
ResponderEliminarBuenas tardes.
Excelente, esa información es muy interesante.